設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有的正整數(shù)n，都有Sn=.證明：{an}是等差數(shù)列.

 

答案：
解析：

證明：證法一：令d=a2－a1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an=a1+（n－1）d（n∈N*）

①當(dāng)n=1時(shí)，上述等式為恒等式a1=a1，

當(dāng)n=2時(shí)，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N，k≥2）時(shí)命題成立，即ak=a1+（k－1）d

由題設(shè)，有，

又Sk+1=Sk+ak+1，所以+ak+1

將ak=a1+（k－1）d代入上式，

得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1

整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d

∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.

即n=k+1時(shí)等式成立.

由①和②，等式對所有的自然數(shù)n成立，從而{an}是等差數(shù)列.

證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，由題設(shè)，

所以

同理有

從而

整理得：an+1－an=an－an－1，對任意n≥2成立.

從而{an}是等差數(shù)列.

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且Sn=3n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=an（2n-1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的關(guān)系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，若Dn內(nèi)的整點(diǎn)（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關(guān)系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鄭州一模）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1，則
S4
a3
的值為（　　）

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