Question

14．某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學(xué)參加市中學(xué)生環(huán)保知識團體競賽，根據(jù)比賽規(guī)則，某中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊，其中初中學(xué)部選出的3名同學(xué)有2名女生；高中學(xué)部選出的5名同學(xué)有3名女生，競賽組委會將從這8名同學(xué)中隨機選出4人參加比賽．
（Ⅰ）設(shè)“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個學(xué)部”為事件A，求事件A的概率P（A）；
（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人中女生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊，其中初中學(xué)部選出的3名同學(xué)有2名女生；
高中學(xué)部選出的5名同學(xué)有3名女生，競賽組委會將從這8名同學(xué)中隨機選出4人參加比賽，
設(shè)“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個學(xué)部”為事件A，
由已知，得$P（A）=\frac{C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2}{C_8^4}=\frac{6}{35}$，
所以事件A的概率為$\frac{6}{35}$．…（5分）
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4．
由已知得$P（{X=k}）=\frac{{C_5^kC_3^{4-k}}}{C_8^4}（{k=1，2，3，4}）$．…（8分）
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，
所以隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

…（10分）
隨機變量X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=1×\frac{1}{14}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{3}{7}+4×\frac{1}{14}=\frac{5}{2}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．