Question

19．在直角梯形BCEF中，BF∥EC，且EF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{3}$CE，EF⊥EC，A為BF的中點(diǎn)，ED=$\frac{1}{3}$EC，現(xiàn)沿直線AD將四邊形ADEF折起，如圖2，使得平面ADEF⊥平面ABCD，M為CE的中點(diǎn)．

（1）證明：BM∥平面ADEF；
（2）求平面ADEF與平面BEC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明BM∥平面ADEF；
（2）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵EF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{3}$CE，
∴CE=3EF，BF=2BF，
則AB=AF，CD=2EF，
∵ED=$\frac{1}{3}$EC，
∴ED=EF
則CD=2AB，
取CD的中點(diǎn)H，連接MH，BH，
則MH是△CDE的中位線，則MH∥DE，
四邊形ABHD是正方形，
則BH∥AD，
∵M(jìn)H∩BH=H，
∴平面BMH∥平面ADEF，
∵BM?平面平面BMH，
∴BM∥平面ADEF；
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面BMH∥平面ADEF，
∴平面BMH⊥平面ABCD，
過H作GH⊥BM，連接CG，
則CG⊥GH，
即∠CGH是平面BMH與平面BEC所成的二面角，同時(shí)也是平面ADEF與平面BEC所成的角，
設(shè)EF=1，則DE=1，MH=$\frac{1}{2}$，BH=AD=1，CH=1，
則BM=$\sqrt{M{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
則$\frac{1}{2}$MH•BH=$\frac{1}{2}$BM•GH，
則GH=$\frac{MH•BH}{BM}$=$\frac{\frac{1}{2}×1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，CG=$\sqrt{C{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
則cos∠CGH=$\frac{GH}{CG}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{30}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即平面ADEF與平面BEC所成的銳二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的計(jì)算，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．