Question

4．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a^2}{x}$，g（x）=-x-ln（-x）其中a≠0，
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點，求實數(shù)a的值及g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x₁∈[1，2]，?x₂∈[-3，-2]使得f（x₁）≥g（x₂）恒成立，且-2＜a＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）問題等價于對任意的x₁∈[1，2]x₂∈[-3，-2]時，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_min，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，其定義域為（0，+∞），
∴$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}$；又x=1是函數(shù)h（x）的極值點，
∴f'（1）=0，即1-a²=0，∴a=1或a=-1；
經(jīng)檢驗，a=1或a=-1時，x=1是函數(shù)h（x）的極值點，
∴a=1或a=-1；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，對任意的x₁∈[1，2]，
?x₂∈[-3，-2]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等價于對任意的x₁∈[1，2]x₂∈[-3，-2]時，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_min，
當(dāng)x∈[1，2]時，$g'（x）=-1-\frac{1}{x}＞0$．
∴函數(shù)g（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)．
∴[g（x）]_min=g（2）=2+ln2．
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}$=$\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}$，且x∈[1，2]，-2＜a＜0，
①當(dāng)-1＜a＜0且x∈[1，2]時，$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}＞0$，
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，2]上是增函數(shù)．∴[f（x）]_min=f（1）=1+a．
由1+a²≥2+ln2，得$a≤-\sqrt{1+ln2}$，
又∵-1＜a＜0，∴$a≤-\sqrt{1+ln2}$不合題意．
②當(dāng)-2＜a≤-1時，若1≤x＜-a，則$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}＜0$，
若-a＜x≤2，則$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{x+a}）}}{x^2}＞0$，
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，-a）上是減函數(shù)，在（-a，2]上是增函數(shù)．
∴[f（x）]_min=f（-a）=-2a-2a≥2+ln2，得$a≤-1-\frac{1}{2}ln2$，
∴$-2＜a≤-1-\frac{1}{2}ln2$．
綜上，存在實數(shù)a的取值范圍為$（{-2，-1-\frac{1}{2}ln2}]$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．