Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{x}$（a，b∈R），且對任意x＞0，都有f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0
（Ⅰ）用含a的表達式表示b；
（Ⅱ）若f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求出a的取值范圍，并證明f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷y=f（x）零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用賦值法，結(jié)合f（1）=0得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，然后對恒成立進行證明；
（Ⅱ）因為該函數(shù)有兩個極值點，所以導(dǎo)函數(shù)等于零有兩個異號根，在此基礎(chǔ)上得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，然后代入f（$\frac{{a}^{2}}{2}$），再證明函數(shù)g（a）=f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0恒成立即可；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的極值點、單調(diào)性、最值等以及利用數(shù)形結(jié)合思想確定出函數(shù)零點的個數(shù)，注意分類討論

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意：令x=1，可得f（1）+f（$\frac{1}{1}$）=0，
∴f（1）=-a+b=0，
經(jīng)驗證，可得當(dāng)a=b時，對任意x＞0，都有f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
∴b=a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，且x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
令g（x）=-ax²+x-a，
要使f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，則須有y=g（x）有兩個不相等的正數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{2a}＞0}\\{△=1-{4a}^{2}＞0}\\{g（0）=-a＜0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1}{2a}＞0}\\{△=1-{4a}^{2}＞0}\\{g（0）=-a＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$或無解，
∴a的取值范圍0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜$\frac{{a}^{2}}{2}$＜$\frac{1}{8}$，
由題意知f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）=ln$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$=2lna+$\frac{2}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$-ln2，
令h（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-$\frac{{x}^{3}}{2}$-ln2，則h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{{3x}^{2}}{2}$=$\frac{-{3x}^{4}+4x-4}{{2x}^{2}}$，
而當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，-3x⁴+4x-4=-3x⁴-4（1-x）＜0，即h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-2ln2+4-$\frac{1}{16}$-ln2＞$\frac{63}{16}$-3lne＞0，
即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0．
（Ⅲ）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，g（x）=-ax²+x-a，
令f'（x）=0得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，
由（Ⅱ）知0＜a＜$\frac{1}{2}$時，y=g（x）的對稱軸x=$\frac{1}{2a}$∈（1，+∞），
△=1-4a²＞0，g（0）=-a＜0，
∴x₂＞1，又x₁x₂=1，可得x₁＜1，
此時，f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減，（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，
所以y=f（x）最多只有三個不同的零點，
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（x₁，1）上遞增，即x∈[x₁，1）時，f（x）＜0恒成立，
根據(jù)（Ⅱ）可知f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0且0＜$\frac{{a}^{2}}{2}$＜$\frac{1}{8}$，
所以$\frac{{a}^{2}}{2}$∉（x1，1），即$\frac{{a}^{2}}{2}$∈（0，x₁）
∴?x₀∈（$\frac{{a}^{2}}{2}$，x₁），使得f（x₀）=0，
由0＜x₀＜x₁＜1，得 $\frac{1}{{x}_{0}}$＞1，又f（$\frac{1}{{x}_{0}}$）=-f（x₀）=0，f（1）=0，
∴f（x）恰有三個不同的零點：x₀，1，$\frac{1}{{x}_{0}}$．
綜上所述，y=f（x）恰有三個不同的零點．

點評 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，包括函數(shù)的極值、零點，二次方程根的分布等知識，考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，同時也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．