Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）與直線y=x-1相切，且知點F（0，1）和直線l：y=-1，若動點P在拋物線C上（除原點外），點P處的切線記為m，過點F且與直線PF垂直的直線記為n．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求證：直線l，m，n相交于同一點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用相切關(guān)系求出p，即可得到拋物線C的方程；
（2）通過x²=4y，求導(dǎo)y′=

1

2

x，設(shè)P（x₀，y₀），得到則P處的切線方程為：y-y0=

1

2

x0(x-x0)，求出切線方程m方程，求出直線l，m相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)，推出直線PF的斜率為k=

y0-1

x0

=

x 2 0 -4

4x0

，通過n與直線PF垂直，求出n的方程為y=-

4x0

x 2 0 -4

x+1，推出直線l，n也相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)，即可說明直線l，m，n相交于同一點．

解答： （1）解：聯(lián)立

x2=2py y=x-1

消去y得  x²-2px+2p=0
因為拋物線C與直線y=x-1相切，所以△=4p²-8p=0…（3分）
解得p=0（舍）或p=2…（4分）
所以拋物線的方程為x²=4y…（5分）
（2）證明：由x²=4y得y=

1

4

x2，求導(dǎo)有y′=

1

2

x…（6分）
設(shè)P（x₀，y₀），依題其中x₀≠0，則P處的切線方程為：y-y0=

1

2

x0(x-x0)∵y0=

1

4

x

2 0

∴切線方程m：y=

1

2

x0x-

1

4

x

2 0

…（8分）
與直線l：y=-1聯(lián)立得：x=

x 2 0 -4

2x0

，即直線l，m相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)…（9分）
直線PF的斜率為k=

y0-1

x0

=

x 2 0 -4

4x0

因為n與直線PF垂直，所以kn=-

1

k

=-

4x0

x 2 0 -4

…（11分）
因為n過點F，所以n的方程為y=-

4x0

x 2 0 -4

x+1…（12分）
與直線l：y=-1聯(lián)立得：x=

x 2 0 -4

2x0

，即直線l，n也相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)…（13分）
故直線l，m，n相交于于同一點．…（14分）

點評：本題考查直線與拋物線方程的綜合應(yīng)用，拋物線方程的求法，三點共線的證明，考查邏輯推理能力以及計算能力．