Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2mcosx+4m-1，m∈R．
（1）當(dāng)m=

1

2

時，求函數(shù)的最值并求出對應(yīng)的x值；
（2）如果對于區(qū)間（-

π

2

，

π

2

]上的任意一個x，都有f（x）≤5恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)m=

1

2

時，函數(shù)f（x）=-（cosx-

1

2

）²+

9

4

，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及cosx∈[-1，1]，可得函數(shù)的最值并求出對應(yīng)的x值；
（2）令t=cosx，則由x∈（-

π

2

，

π

2

]得：t∈[0，1]，則函數(shù)f（x）=-cos²x+2mcosx+4m，可化為一個關(guān)于t的二次函數(shù)g（t）=-t²+2mt+4m，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，進(jìn)而可滿足條件的m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)m=

1

2

時，函數(shù)f（x）=sin²x+cosx+2-1=-cos²x+cosx+2=-（cosx-

1

2

）²+

9

4

，
當(dāng)cosx=

1

2

時，即x=±

π

3

+2kπ，k∈Z時，函數(shù)f（x）取最大值

9

4

，
當(dāng)cosx=-1時，即x=π+2kπ，k∈Z函數(shù)f（x）取最小值0；
（2）函數(shù)f（x）=sin²x+2mcosx+4m-1=-cos²x+2mcosx+4m，
令t=cosx，則由x∈（-

π

2

，

π

2

]得：t∈[0，1]，
則原函數(shù)可化為g（t）=-t²+2mt+4m，其圖象是開口朝下，且以直線t=m為對稱軸的拋物線，
①當(dāng)m≤0時，f（x）≤5恒成立，可化為：f（x）_max=g（0）=4m≤5，解得：m≤

5

4

，
∴m≤0；
②當(dāng)0＜m＜1時，f（x）≤5恒成立，可化為：f（x）_max=g（m）=m²+4m≤5，解得：-5≤m≤1，
∴0＜m＜1；
③當(dāng)m≥1時，f（x）≤5恒成立，可化為：f（x）_max=g（1）=6m-1≤5，解得：m≤1，
∴m=1；
綜上所述，m的取值范圍為m≤1．

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中利用換元法，將較為復(fù)雜的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，是解答的關(guān)鍵．