Question

1．若x²-2ax+a+2≥0對任意x∈[0，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為[-2，2]．

Answer 1

分析 若命題“?x∈[0，2]，x²+2ax+a＞0”恒成立，則函數(shù)f（x）=x²-2ax+a+2的最小值對任意x∈[0，2]恒大于等于0，按二次函數(shù)的對稱軸分類求出最值即可．

解答 解：若命題“?x∈[0，2]，x²+2ax+a＞0”恒成立，則函數(shù)f（x）=x²-2ax+a+2的最小值對任意x∈[0，2]恒大于等于0，二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+a+2的對稱軸x=a，
當a＞2時，函數(shù)f（x）在[0，2]上遞減，f（x）_min=f（2）=6-3a≥0⇒a≤2，無解；
當a＜0時，函數(shù)f（x）在[0，2]上遞增，f（x）_min=f（0）=2+a≥0⇒-2≤a＜0；
當0≤a≤2時，函數(shù)f（x）在[0，a]上遞減，在[a，2]上遞增，f（x）_min=f（a）=-a²+a+2≥0⇒0≤a≤2，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為：[-2，2]
故答案為：[-2，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)在區(qū)間上的恒成立問題，涉及到分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．