Question

三棱錐A-BCD的棱長全相等，E是AD中點，則直線CE與直線BD所成角的余弦值為（　�。�

• A．

  3

  6

• B．

  3

  2

• C．

  33

  6

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：題目要求解的是兩條異面直線所成角的余弦值，且給出了棱AD的中點E，可以想到再找AB的中點F，連接兩中點EF，得到EF∥BD，則直線CE與直線BD所成角轉化為直線CE與直線EF所成角，在三角形CEF中運用余弦定理可求∠CEF的余弦值，則直線CE與直線BD所成角的余弦值可求．

解答：解：如圖，取AB中點F，連接EF，因為E、F分別為AD、AB的中點，則EF為三角形ABD的中位線，所以EF∥BD，
所以直線EF與CE所成的角即為直線CE與直線BD所成角，
因為三棱錐A-BCD的棱長全相等，設棱長為2a，則EF=a，
在等邊三角形ABC中，因為F為AB的中點，所以CF為邊AB上的高，
所以CF=

BC2-BF2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
則CE=CF=

3

a，
在三角形CEF中，cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

a2

2a• 3 a

=

3

6

．
所以，直線CE與直線BD所成角的余弦值為

3

6

．
故選A．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關鍵技巧，此題是中低檔題．