Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1-x²+ln（x+1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞

kx

x+1

-x² （k∈N^*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出f（x）的定義域，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，分別令它大于0，小于0，解不等式，必須注意定義域，求交集；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式f（x）＞

kx

x+1

-x²，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]-kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，討論k，分k≤2，k＞2，由恒成立結(jié)合單調(diào)性判斷k的取值，從而得到k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=-2x+

1

x+1

，
令f'（x）＞0則

1

x+1

＞2x，
解得

-1- 3

2

＜x＜

-1+ 3

2

，
令f'（x）＜0則

1

x+1

＜2x，
解得x＞

-1+ 3

2

或x＜

-1- 3

2

，
∵x＞-1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，

3 -1

2

），
單調(diào)減區(qū)間為（

3 -1

2

，+∞）；
（Ⅱ）不等式f（x）＞

kx

x+1

-x²
 即1-x²+ln（x+1）＞

kx

x+1

-x2，即1+ln（x+1）＞

kx

x+1

，
即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N^*）在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]-kx，則
g'（x）=2+ln（x+1）-k，
∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，
若k≤2，則g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上遞增，
∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，
∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N^*）在（0，+∞）上恒成立；
若k＞2則g（x）不為單調(diào)函數(shù)．
故k的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求解時(shí)應(yīng)注意函數(shù)的定義域，同時(shí)考查含參不等式恒成立問(wèn)題，通常運(yùn)用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，但求最值較難，本題轉(zhuǎn)化為大于0的不等式，構(gòu)造函數(shù)g（x），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明g（x）＞0恒成立，從而得到結(jié)論．這種思想方法要掌握．