Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

b

=1（0＜b＜4）的右焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為C、A，上頂點(diǎn)為B，過B，C，F(xiàn)作圓P．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，求圓P的方程；
（Ⅱ）求證：直線AB與圓P不可能相切．

Answer 1

分析：（I）利用已知和橢圓的性質(zhì)即可得出a，b，c．進(jìn)而得到點(diǎn)B，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可得出；
（II）利用反證法和圓的切線的性質(zhì)即可證明．

解答：解：（I）當(dāng)b=1時(shí)，橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
∴a²=4，得a=2．∴c=

a2-b2

=

3

．
∴A（2，0），B（0，1），C（-2，0），F(xiàn)(

3

，0)．
設(shè)圓P的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0；
則

1+E+F=0 4-2D+F=0 3+ 3 D+F=0

，解得

D=2- 3 E=2 3 -1 F=-2 3

．
∴圓P的方程為x2+y2+(2-

3

)x+(2

3

-1)y-2

3

=0．
（II）用反證法證明：假設(shè)直線AB與圓P相切，則切點(diǎn)為B．設(shè)圓心P(

c-a

2

，d)，
則

AB

=(-a，b)，

PB

=(

a-c

2

，b-d).

PC

=(

-a-c

2

，-d)，
∴

AB

•

PB

=0，又|

PB

|=|

PC

|，
∴

-a• a-c 2 +b(b-d)=0 ( a-c 2 )2+(b-d)2 = ( -a-c 2 )2+d2

，
消去d可得c²-4c=0．
解得c=0或4．
∵c=

4-b

，0＜b＜4．
∴0＜c＜4．
故假設(shè)不成立．
即直線AB與圓P不可能相切．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)及其一般方程、待定系數(shù)法、反證法等是解題的關(guān)鍵．