Question

已知圓錐的高為1，軸截面頂角為120°時，過圓錐頂點的截面中，最大截面面積為（ ）
A．
B．2
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：作出過圓錐頂點的截面，設出底面圓心到截面底邊的距離x，把截面面積用x表示，然后利用基本不等式求其最值．
解答：解：如圖，過圓錐頂點P認作一截面PAB，交底面圓與AB，過O作AB的垂線OF，垂足為F，交底面圓周與E，
因為圓錐軸截面的頂角為120°，則∠OPE=60°，又圓錐PO的高PO=1，在直角三角形POE中，有OE=，
即圓錐底面半徑為3，所以OA=OE=，設OF=x，則AF=，
在直角三角形POF中，PF=，
所以，==2．
當且僅當3-x²=1+x²，即x=1時“=”成立．
所以，過圓錐頂點的截面中，最大截面面積為2．
故選C．
點評：本題考查了棱錐的結構特征，考查了利用基本不等式求最值，學生解答此題時容易出錯，往往不假思索的認為截面積最大的是軸截面，該題是否是軸截面面積最大取決于軸截面的頂角，此題是基礎題．