Question

1．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$，2a_n-1a_n+1=a_na_n+1+a_n-1a_n（n≥2），則a_n=（　�。�

• A． $\frac{2}{n+1}$
• B． $\frac{2}{n+2}$
• C． （$\frac{2}{3}$）ⁿ
• D． （$\frac{2}{3}$）^n-1

Answer 1

分析 方法一：由于本題是選擇題，先求出a₃的值，分別驗(yàn)證，A，B，C，D哪個成立即可．
方法二，由2a_n-1a_n+1=a_na_n+1+a_n-1a_n，同除以a_na_n+1a_n-1，得到$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，即{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，問題得以解決．

解答 解：方法一：∵a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$，2a_n-1a_n+1=a_na_n+1+a_n-1a_n（n≥2），
∴2a₁a₃=a₂a₃+a₁a₂，
∴a₃=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，對于B，不成立，C不成立，
當(dāng)n=3是，D不成立，
方法二：2a_n-1a_n+1=a_na_n+1+a_n-1a_n，
∴$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴d=$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，關(guān)鍵是構(gòu)造等差數(shù)列，屬于中檔題．