Question

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

2

，0)、Q(-1，-

2

2

)．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，以橢圓C₁的長(zhǎng)軸為直徑作圓C₂，過(guò)直線x=-2上的動(dòng)點(diǎn)T作圓C₂的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A、B，若直線AB與橢圓C₁求交于不同的兩點(diǎn)C、D，求

|AB|

|CD|

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得

2 a2 =1 1 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）圓C₂的方程為x²+y²=2，設(shè)直線x=-2上的動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-2，t），（t∈R），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線AT的方程為x₁x+y₁y=2，直線BT的方程為x₂x+y₂y=2，直線AB的方程為-2x+ty=2，由此利用點(diǎn)到直線的距離和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出

|AB|

|CD|

的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
將點(diǎn)P（

2

，0），Q（-1，-

2

2

）代入，得：

2 a2 =1 1 a2 + 1 2b2 =1

，解得a=

2

，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（2）圓C₂的方程為x²+y²=2，
設(shè)直線x=-2上的動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-2，t），（t∈R），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線AT的方程為x₁x+y₁y=2，
直線BT的方程為x₂x+y₂y=2，
又T（-2，t）在直線AT和BT上，即

-2x1+ty1=2 -2x2+ty2=2

，
∴直線AB的方程為-2x+ty=2，
由原點(diǎn)O到直線AT的距離為d=

2

4+t2

，
得|AB|=2

r2-d2

=2

2t2+4 t2+4

，
聯(lián)立

-2x+ty=2 x2 2 +y2=1

，消去x，得（t²+8）y²-4ty-4=0，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則y3+y4=

4t

t2+8

，y3y4=

-4

t2+8

，
從而|CD|=

1+ t2 4

|y1-y2|=

2 t2+4 • 2t2 +8

t2+8

，
∴

|AB|

|CD|

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

，
設(shè)t²+4=m，m＞4，
則

|AB|

|CD|

=

m3+6m2-32 m3

=

1+ 6 m - 32 m3

，
又設(shè)

1

m

=s.0＜s≤

1

4

，
則

|AB|

|CD|

=

1+6s-32s2

，
設(shè)f（s）=1+6s-32s³，
令f′（s）=6-96s²=0，解得s=

1

4

，
故f（s）=1+6s-32s³在s∈（0，

1

4

]上單調(diào)遞增，
f（s）∈（1，2]，
∴

|AB|

|CD|

∈（1，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，考查兩線段比值的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．