Question

已知f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2x在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的范圍A；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=

5

3

x有兩個非零實(shí)根x₁、x₂，試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，則1-a-2≤0且1+a-2≤0，解得即可；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得|x₁-x₂|在[-1，1]上的最大值，再由m²+tm+

1

2

不小于最大值，在-1≤t≤1恒成立，構(gòu)造一次函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性得到不等式，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-x²+ax+2，
由f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，則f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，則1-a-2≤0且1+a-2≤0，
解得，-1≤a≤1，
則A=[-1，1]；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|
對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．
關(guān)于x的方程f（x）=

5

3

x有兩個非零實(shí)根x₁、x₂，
即有兩個非零實(shí)根x₁、x₂是方程2x²-3ax-2=0的根，
即有△=9a²+16＞0，x₁+x₂=

3a

2

，x₁x₂=-1，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9a2 4 +4

，
由于a∈[-1，1]，則|x₁-x₂|取得最大值

5

2

．
即有m²+tm+

1

2

≥

5

2

對任意的t∈[-1，1]恒成立，
構(gòu)造g（t）=m²+tm-2，則有g(shù)（-1）≥0，且g（1）≥0，
即有m²-m-2≥0且m²+m-2≥0，
即m≥2或m≤-1且-2≤m≤1，
解得，-2≤m≤-1．
則存在實(shí)數(shù)m∈[-2，-1]，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|
對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查二次方程的韋達(dá)定理，考查不等式的恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，屬于中檔題和易錯題．