Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點．
（1）求證：BC⊥平面BB₁A₁A；
（2）求證：MN∥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）結(jié)合AB⊥BC，又因為平面BB₁C₁C⊥平面BB₁A₁A，可知BC⊥平面BB₁A₁A；
（2）欲證MN∥平面BCC₁B₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面BCC₁B₁內(nèi)一直線平行即可，而連接BC₁，AC₁．根據(jù)中位線定理可知MN∥BC₁，又MN?平面BCC₁B₁滿足定理所需條件．

解答： 證明：（1）∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵平面BB₁C₁C⊥平面BB₁A₁A，
∴BC⊥平面BB₁A₁A．
（2）證明：連接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M，N是AB，A₁C的中點，∴MN∥BC₁．
又∵MN?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁．

點評：本題重點考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定等知識，屬于中檔題．判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．