Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是邊長為6的正三角形．
（1）求證：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DE的中點(diǎn)，連接CH，BH，由等邊三角形CDE，可得，CH⊥DE，再通過計(jì)算，運(yùn)用勾股定理的逆定理，得到CH⊥BH，再由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為d，E到平面ABCD的距離為m，由于V_A-BDE=V_E-ABD，V_E-BCD=V_C-EBD=

1

3

CH•S_△BDE，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算即可得到m，d．

解答： （1）證明：取DE的中點(diǎn)，連接CH，BH，
則由等邊三角形CDE，可得，CH⊥DE，
CH=

3

2

×6=3

3

，BD=

22+32

=

13

，
由于BE=7，DE=6，BD=

13

，有BD²+DE²=BE²，
即有BD⊥DE，
即有BH=

( 13 )2+32

=

22

，再由BH²+CH²=CB²，
則CH⊥BH，又CH⊥DE，DE，BH為平面BDE中兩條相交直線，
則CH⊥平面BDE，且CH?平面CDE，
則平面DEC⊥平面BDE；
（2）解：設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為d，E到平面ABCD的距離為m，
由于V_A-BDE=V_E-ABD，
V_E-BCD=V_C-EBD=

1

3

CH•S_△BDE=

1

3

•3

3

•

1

2

•6

13

=3

39

，
又V_E-BCD=

1

3

•m•

1

2

•3•7=3

39

，
則m=

6 39

7

．
V_E-ABD=

1

3

m•

1

2

•3•2=m，V_A-BDE=

1

3

d•

1

2

•6•

13

則

13

d=

6 39

7

，則d=

6 3

7

．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，注意運(yùn)用等積法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．