Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9，（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N^*，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）仿寫一個等式，兩式相減得到數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，判斷出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式分別求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式求出S_n，分離出參數(shù)k，構(gòu)造新數(shù)列{c_n}，利用后一項減去前一項，
判斷出數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，求出它的最大值，求出k的范圍．
解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1①
得a_n=2S_n-1+1②，
①-②得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=3，a₁=1也滿足上式，
∴a_n=3^n-1；（3分）
b₅-b₃=2d=6∴d=3
∴b_n=3+（n-3）×3=3n-6；（6分）
（2），
∴對n∈N^*恒成立，
∴對n∈N^*恒成立，（8分）
令，，
當n≤3時，c_n＞c_n-1，當n≥4時，c_n＜c_n-1，（10分）
，
所以實數(shù)k的取值范圍是（12分）
點評：已知數(shù)列的項與前n項和間的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，一般通過仿寫作差的方法得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再據(jù)遞推關(guān)系選擇合適的求通項方法．