Question

如下圖，已知△OFQ的面積為S，且·=1，

(1)若S的范圍為<S<2,求向量與的夾角θ的取值范圍；
(2)設(shè)||=c(c≥2),S=c,若以O為中心，F為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，當(dāng)||取得最小值時(shí)，求此橢圓的方程.

Answer 1

(1) <θ<arctan4.
(2) 橢圓方程為.

本題考查向量的基本知識(shí)、三角知識(shí)及最值問(wèn)題在解析幾何中的綜合運(yùn)用.
(1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.
又||·||·sin(180°－θ)=S,
∴tanθ=2S,S=.
又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
∴<θ<arctan4.
(2)以所在的直線(xiàn)為x軸，以的過(guò)O點(diǎn)的垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖).

∴O(0,0),F(c,0),Q(x₀,y₀).
設(shè)橢圓方程為+=1.
又·=1，S=c,
∴(c,0)·(x₀－c,y₀)="1.                                                                                            " ①
·c·|y₀|=c.                                                                                                 ②
由①得c(x₀－c)=1x₀=c+.
由②得|y₀|=.
∴||==.
∵c≥2,
∴當(dāng)c=2時(shí)，||_min==,
此時(shí)Q(，±)，F(2，0).
代入橢圓方程得
∴a²=10,b²=6.
∴橢圓方程為.
評(píng)析:新知識(shí)(向量)在幾何中的應(yīng)用是值得關(guān)注的趨勢(shì).