Question

設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球相距m萬(wàn)千米和m萬(wàn)千米時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線(xiàn)與橢圓的長(zhǎng)軸夾角分別為和，求該彗星與地球的最近距離．

 

Answer 1

m萬(wàn)千米．

【解析】

試題分析：仔細(xì)分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當(dāng)該彗星運(yùn)行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí)，彗星與地球的距離才達(dá)到最小值即為a﹣c，這樣把問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求a，c或a﹣c．

【解析】
建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)F（﹣c，0）處，

橢圓的方程為+=1，

當(dāng)過(guò)地球和彗星的直線(xiàn)與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為時(shí)，

由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿(mǎn)足∠x(chóng)FA=（或∠x(chóng)FA′=）．

作AB⊥Ox于B，則|FB|=|FA|=m，

故由橢圓的第二定義可得

m=（﹣c），①m=（﹣c+m）．②

兩式相減得m=•m，∴a=2c．

代入①，得m=（4c﹣c）=c，

∴c=m．∴a﹣c=c=m．

答：彗星與地球的最近距離為m萬(wàn)千米．