Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=5，前n項和為S_n．若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），則數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（1）寫出該命題的逆命題；
（2）證明原命題是真命題．

Answer 1

考點：四種命題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡易邏輯

分析：（1）根據(jù)原命題與逆命題之間的關系，寫出它的逆命題即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合前n項和公式，即可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．

解答： 解：（1）∵原命題是數(shù)列{a_n}的首項a₁=5，前n項和為S_n，若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），則數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
∴它的逆命題是數(shù)列{a_n}的首項a₁=5，前n項和為S_n，若數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，則S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）；
（2）證明：在數(shù)列{a_n}中，a₁=5，前n項和為S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
∴S_n=2S_n-1+（n-1）+5，
∴（S_n+1-S_n）=2（S_n-S_n-1）+[n-（n-1）]+（5-5）；
即a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2，
∴

an+1+1

an+1

=2；
∴數(shù)列{a_n+1}是以公比q=2，首項為a₁+1=5+1=6的等比數(shù)列．
∴原命題是真命題．

點評：本題考查了四種命題之間的關系，也考查了等比數(shù)列的定義與前n項和公式的應用問題，是基礎題．