Question

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（a＞0）與x軸的正半軸交于點P．點Q的坐標為（3，3），=6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q且斜率為的直線交橢圓C于A、B兩點，求△AOB的面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，點P坐標為（a，0）．�。�1分）
∵，點Q坐標為（3，3），
∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）
∴橢圓C的方程為．（4分）
（Ⅱ）方法一：過點Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，
即3x-2y-3=0．（5分）
設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由，消去x并整理得，8y²+12y-27=0．（6分）
∴，，（7分）
∴==，
∴．（9分）
∵直線AB與x軸的交點為M（1，0），
∴△AOB的面積S_△AOB=S_△OMA+S_△OMB
=|OM|•（|y₁|+|y₂|）
=
=．（12分）
方法二：過點Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，
即3x-2y-3=0．（5分）
設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由，消去y，并整理得2x²-2x-3=0，（6分）
∴，，（7分）
∴|AB|=
==，（9分）
∵點O到直線AB的距離d==，（10分）
∴△AOB的面積S_△AOB===．（12分）
分析：（Ⅰ）點P坐標為（a，0），由，知點Q坐標為（3，3），由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）法一：過點Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由得，8y²+12y-27=0.，，，由此能求出△AOB的面積．
法二：過點Q（3，3）且斜率為的直線AB方程為y-3=，設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由，得2x²-2x-3=0，，，|AB|==，點O到直線AB的距離d==，由此能求出△AOB的面積．
點評：本題考查橢圓方程的求法和求三角形面積．具體涉及到橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．