Question

已知橢圓C：

x2

9

+

y2

b2

=1(0＜b＜3)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)A為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線AF₁與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列，則C的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義，|AF₂|、|AB|、|BF₂|均與a有聯(lián)系，結(jié)合|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列，列相關(guān)的方程，尋求a c的值或a，c的關(guān)系．

解答：解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，|AF₂|=a=3，設(shè)|BF₂|=x，根據(jù)橢圓的定義，|B F₁|=6-x，∴|AB|=|AF₁|+|B F₁|=3+（6-x）=9-x．∵|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列，列方程3+x=2（9-x），∴x=5，△BAF₂是直角三角形，∴|F₁F₂|=

2

|AF₂|即2c=

2

a，∴e=

c

a

=

2

2

故選B

點(diǎn)評(píng)：橢圓的定義顯示了橢圓的幾何本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上橢圓中具有明顯幾何意義的線段如，∴|F₁F₂|=2c，|AF₂|=a等要熟練準(zhǔn)確．