Question

15．已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₂=3，S₄=16，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程組，可得首項和公差，即可得到所求通項；
（2）求得b_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=3\\{S_4}=4{a_1}+6d=16\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}的通項公式${a_n}=1+2（n-1）=2n-1（n∈{N^*}）$；
（2）由（1）得${b_n}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
即有${T_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}（n∈{N^*}）$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．