Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足|PA|=a|PB（a＞0
）．
（1）試討論動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C；
（2）當(dāng)a=$\sqrt{2}$時(shí)，直線y=x+b與軌跡C交于兩點(diǎn)M，N，若以線段MN為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，從而化簡(jiǎn)即可；
（2）由題意知軌跡C的方程為x²+y²-6x+1=0，從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)2x²+（2b-6）x+b²+1=0，從而結(jié)合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0解得．

解答 解：（1）由題意得，
$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，（a＞0）
即（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0，
當(dāng)a²=1，即a=1時(shí)，方程為x=0，故軌跡C為y軸；
當(dāng)a²≠1，即a＞0且a≠1時(shí)，
方程可變形為
（x-$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$）²+y²=$\frac{4{a}^{2}}{（{a}^{2}-1）^{2}}$，
故軌跡C為以（$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$，0）為圓心，$\frac{2a}{|{a}^{2}-1|}$為半徑的圓．
（2）由題意知軌跡C的方程為x²+y²-6x+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+1=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$得，
2x²+（2b-6）x+b²+1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2b-6）^{2}-8（^{2}+1）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=3-b}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}+1}{2}}\end{array}\right.$，
∴-7＜b＜1，
∵以線段MN為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
故2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
即b²+1+b（3-b）+b²=0，
即b²+3b+1=0，
故b=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$或b=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用．