Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí),求過點(diǎn)處的切線方程

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）求出，由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2) ，先排除不合題意，當(dāng)時(shí)，再討論兩種情況：（i）當(dāng)時(shí)， ，則無零點(diǎn)，不符合題意，（ii）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，從而可得結(jié)果.

詳解：(1)當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), ,所以點(diǎn)

又由,得,

所以,所以切線方程為 .

（2）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?/span> .

，

當(dāng)a≤0時(shí)，易得，則在上單調(diào)遞增，

則至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.

②當(dāng)a>0時(shí)，令得： x=a，則

	+	0	-
	增	極大	減

∴ =f(a)=a(lna+a-1)

設(shè)g(x)=lnx+x-1，∵，則g(x)在上單調(diào)遞增.

又∵g(1)=0，∴x<1時(shí)， g(x)<0； x>1時(shí)， g(x)>0.

（i）當(dāng)時(shí)， ，則f(x)無零點(diǎn)，

不符合題意，舍去 .

（ii）當(dāng)a>1時(shí)， ，

∵ ，∴在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，

∵ ，

設(shè)h(x)=lnx-x， (x>1)，∵，

∴h(x)在上單調(diào)遞減，則，

∴，

∴f(x)在區(qū)間(a,3a-1)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜合知f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)， a的取值范圍是.