Question

2．已知正數(shù)x、y滿足x+y=xy，則4x，y，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$這4個數(shù)的平均數(shù)的（　�。�

• A． 最小值為2
• B． 最小值為$\frac{5}{2}$
• C． 最大值為2
• D． 最大值為$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 化簡可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，從而利用化簡4x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+6，從而利用基本不等式求解即可．

解答 解：∵正數(shù)x、y滿足x+y=xy，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴4x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$
=（4x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）+1
=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+6≥10，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4x}{y}$=$\frac{y}{x}$，即x=$\frac{3}{2}$，y=3時(shí)成立）
故4x，y，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$這4個數(shù)的平均數(shù)不小于$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
即4x，y，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$這4個數(shù)的平均數(shù)的最小值為$\frac{5}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的化簡與應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用．