Question

一個袋中有10個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出一個球，得到黑球的概率是

2

5

；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是

7

9

．
（1）求袋中白球的個數(shù)；
（2）若將其中的紅球拿出，從剩余的球中一次摸出3個球，求恰好摸到2個白球的概率；
（3）在（2）的條件下，一次摸出3個球，求取得白球數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)袋中白球數(shù)為n，根據(jù)“從中任摸2個球至少得到1個白球”與“任取兩球無白球”為對立事件可得答案．
（2）由題意可得：袋中的黑球有4個，所以紅球一個．所以袋中有4黑5白9個球，根據(jù)古典概率模型的公式可得答案．
（3）由題意可得：X服從參數(shù)為N=9，M=5，n=3的超幾何分布，進(jìn)而根據(jù)有關(guān)公式可得答案．

解答：解：（1）設(shè)袋中白球數(shù)為n．
設(shè)從中任摸2個球至少得到1個白球?yàn)槭录嗀，任取兩球無白球?yàn)槭录?span id="jbrhxpd" class="MathJye">

.

A

，
所以P（

.

A

）=1-

C 2 10-n

C 2 10

=

2

9

，
解得n=5，即袋中有5個白球．----------------------（4分）
（2）由題意可得：袋中的黑球有10×

2

5

=4個，所以紅球一個．
若拿掉紅球，則袋中有4黑5白9個球．
所以恰好摸到2個白球的概率=

C 2 5 C 1 4

C 3 9

=

10

21

------------------------（8分）
（3）設(shè)X表示摸出白球的個數(shù)，則X服從參數(shù)為N=9，M=5，n=3的超幾何分布，
所以E（X）=

nM

N

=

3×5

9

=

5

3

------------------（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查排列組合、概率等基礎(chǔ)知識，同時考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，考查對立事件的概率、古典概型問題以及超幾何分布，是一個綜合題．