Question

17．已知點(diǎn)F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是左頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于點(diǎn)A，若tan∠AEF＜1，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （1，2）
• C． （1，1+$\sqrt{2}$）
• D． （2，2+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由題意可得E（-a，0），F(xiàn)（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入雙曲線的方程可得|AF|，再由正切函數(shù)的定義，解不等式結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得E（-a，0），F(xiàn)（c，0），
|EF|=a+c，
令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
在直角三角形AEF中，tan∠AEF=$\frac{|AF|}{|EF|}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$＜1，
可得b²＜a（c+a），
由b²=c²-a²=（c-a）（c+a），可得
c-a＜a，即c＜2a，
可得e=$\frac{c}{a}$＜2，但e＞1，可得1＜e＜2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用正切函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．