Question

8．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，AA₁=4，AC⊥BC，點M在線段AB上．
（Ⅰ）若M是AB中點，證明AC₁∥平面B₁CM；
（Ⅱ）當BM長是多少時，三棱錐B₁-BCM的體積是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的$\frac{1}{9}$？

Answer 1

分析 （I）取A₁B₁中點N，連結C₁N，AN，MN，則由C₁N∥CM，AN∥B₁M可得平面AC₁N∥平面B₁CM，從而AC₁∥平面B₁CM；
（II）由V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{9}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$可知S_△BCM=$\frac{1}{3}S△ABC$，于是BM=$\frac{1}{3}AB$．

解答 （I）證明：取A₁B₁中點N，連結C₁N，AN，MN．
∵四邊形ABB₁A₁是矩形，∴MN$\stackrel{∥}{=}A{A}_{1}$$\stackrel{∥}{=}C{C}_{1}$，
∴四邊形CMNC₁是平行四邊形，
∴CM∥C₁N，∵C₁N?平面B₁CM，CM?平面B₁CM，
∴C₁N∥平面B₁CM，
同理可證：AN∥平面B₁CM，
又CN?平面AC₁N，AN?平面AC₁N，AN∩C₁N=N，
∴平面AC₁N∥平面B₁CM，∵AC₁?平面AC₁N，
∴AC₁∥平面B₁CM．
（II）解：∵BC=3，AC=4，AC⊥BC，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{9}$V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．
∴V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$．
∴S_△BCM=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴BM=$\frac{1}{3}AB$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積公式，構造平面AC₁N∥平面B₁CM是解題關鍵．