Question

15．已知函數(shù)$f（x）=2msinx-2{cos^2}x+\frac{m^2}{2}-4m+3$，且函數(shù)f（x）的最小值為-7，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 把函數(shù)f（x）化成關(guān)于sinx的函數(shù)，利用換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，
討論對(duì)稱軸的位置，判斷出函數(shù)的最小值表達(dá)式從而求得m的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2msinx-2{cos^2}x+\frac{m^2}{2}-4m+3$
=2msinx-2（1-sin²x）+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+3
=2sin²x+2msinx+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+1
=2${（sinx+\frac{m}{2}）}^{2}$-4m+1，
令t=sinx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)f（t）=2（t+$\frac{m}{2}$）²-4m+1，且對(duì)稱軸為t=-$\frac{m}{2}$；
當(dāng)-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2時(shí)，
f（t）_min=f（-$\frac{m}{2}$）=-4m+1=-7，解得m=2；
當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞1，即m＜-2時(shí)，
f（t）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$m²-2m+3=-7，解得m不存在；
當(dāng)-$\frac{m}{2}$＜-1，即m＞2時(shí)，
f（t）_min=f（-1）=$\frac{1}{2}$m²-6m+3=-7，解得m=2（舍去）或m=10；
綜上，實(shí)數(shù)m的值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般的方法是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，是綜合題．