Question

20．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lg|x-2|（x≠2）\\ 1（x=2）\end{array}\right.$若關(guān)于x的方程[f（x）]²+b•f（x）+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）等于（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． lg4
• D． 3lg2

Answer 1

分析 分情況討論，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）=1，則由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x₁=2；當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=lg（x-2），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]²+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，或lg（x-2）=b，從而求出x₂和x₃；當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=lg（2-x），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]²+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，或lg（2-x）=b，從而求出x₄和x₅，5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅都求出來(lái)后，就能求出f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值．

解答 解：當(dāng)x=2時(shí)，f（x）=1，則由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．
∴x₁=2，c=-b-1．
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=lg（x-2），
由f²（x）+bf（x）+c=0，
得[lg（x-2）]²+blg（x-2）-b-1=0，
解得lg（x-2）=-b-1，x₂=12或lg（x-2）=-b-1，x₃=2+10-^b-1．
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=lg（2-x），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]²+blg（2-x）-b-1=0，
解得lg（2-x）=1，x₄=-8或lg（2-x）=b，x₅=2-10-^b-1．
∴f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（2+12+2+10^b-8+2-10^b）=f（10）=lg|10-2|=lg8=3lg2．
故選D

點(diǎn)評(píng) 這是一道比較難的對(duì)數(shù)函數(shù)綜合題，解題時(shí)按照題設(shè)條件求出關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0的5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，然后再求出f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值．