Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）=x的兩個(gè)根為x₁，x₂，滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，那么當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，x，f（x）與x₁的大小關(guān)系為（　　）

• A、f（x）＜x＜x₁
• B、f（x）＜x₁＜x
• C、x＜f（x）＜x₁
• D、x＜x₁＜f（x）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化簡(jiǎn)分析出f（x）＜x₁，即可．

解答： 解：令F（x）=f（x）-x．
∵x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，
∴F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，得F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
∵0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
∴x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
綜上x＜f（x）＜x₁，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力