Question

已知一個(gè)等差數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)的和是

125

7

，前20項(xiàng)的和是-

250

7

（1）求這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．
（2）求使得S_n最大的序號(hào)n的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知建立方程組可解d和a₁，代公式可求S_n；
（2）由（1）可知數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得等差數(shù)列{a_n}的前7項(xiàng)均為正，第8項(xiàng)為0，從第9項(xiàng)開(kāi)始全為負(fù)值，故可得答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知S₁₀=

125

7

，S₂₀=-

250

7

．
由等差數(shù)列的求和公式可得：S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=

125

7

   ①
S₂₀=20a₁+

20×19

2

d=-

250

7

  ②，由①②解得d=-

5

7

，a₁=5
故a_n=5+（n-1）（-

5

7

）=

40-5n

7

，
所以前n項(xiàng)和S_n=

n(a1+an)

2

=

75n-5n2

14

（2）由（1）可知，a_n=

40-5n

7

，令

40-5n

7

≤0解得n≥8，
故差數(shù)列{a_n}的前7項(xiàng)均為正，第8項(xiàng)為0，從第9項(xiàng)開(kāi)始全為負(fù)值，
故差數(shù)列{a_n}的前7項(xiàng)和等于前8項(xiàng)和都為最大值．
故使得S_n最大的序號(hào)n的值為：7或8

點(diǎn)評(píng)：本題為等差數(shù)列的求和問(wèn)題以及和的最值問(wèn)題，從數(shù)列自身的變化來(lái)求解最值會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，屬基礎(chǔ)題．