Question

設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）=

2-|x-1|+1，x≠1 a，x≠1

，若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出f（x）的圖象，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可．

解答： 解：作出f（x）的圖象如圖：設(shè)t=f（x），
則方程等價為2t²-（2a+3）t+3a=0，
由圖象可知，
若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解，
∴即要求對應(yīng)于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=a時，它有三個根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，
則判別式△=（2a+3）²-4×2×3a＞0，
解得a≠

3

2

，
故1＜a＜

3

2

或

3

2

＜x＜2，
故答案為：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜x＜2

點評：本題主要考查函數(shù)和方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．