Question

1．已知a＞0且a≠1，設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=2^-|x|-a在x∈R內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，命題q：不等式|x-2|-|x+3|-4a²+12a-10＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q成立的a的范圍，根據(jù)“p∨q”為真，且“p∧q”為假，則p，q一真一假，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：∵命題p：函數(shù)f（x）=2^-|x|-a在x∈R內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
即2^-|x|=a在x∈R內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，
畫出函數(shù)y=2^-|x|的圖象，如圖示：
，
由圖象得：0＜a＜1；
命題q：若不等式|x-2|-|x+3|-4a²+12a-10＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，
由于|x-2|-|x+3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故它的最大值等于5，故有5-4a²+12a-10＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立即可，
解得：a＞$\frac{5}{2}$或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，則p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$≤a＜1，
p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞\frac{5}{2}或0＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{5}{2}$，
故a∈[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．