Question

6．已知對(duì)k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． [1，2）
• C． [1，2）∪（2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m+2k²）x²+4kx+2-2m=0，由于直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點(diǎn)，可得△≥0，解出即可得出．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$，化為（m+2k²）x²+4kx+2-2m=0，
∵直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點(diǎn)，
∴△=16k²-4（m+2k²）（2-2m）≥0，
化為m²+（2k²-1）m≥0，
由于m≠0，上式化為：m≥1-2k²，
由于上式對(duì)k∈R恒成立，∴m≥1．
由橢圓的定義可知：m≠2．
綜上可得m的取值范圍是：[1，2）∪（2，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．