Question

14．若函數(shù)f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$在（0，2）上存在兩個極值點，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）
• B． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{4{e}^{2}}$）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（--$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在（0，2）上存在兩個極值點，等價于f′（x）在（0，2）上有兩個零點，
令f′（x）=0，求出x=1和ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，且x≠1，x∈（0，2）；
求出a=-$\frac{1}{{e}^{x}{•x}^{2}}$，x∈（0，1）∪（1，2）；
設(shè)t（x）=e^x•x²，x∈（0，1）∪（1，2），求出t（x）的取值范圍，即得a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$在（0，2）上存在兩個極值點，
等價于f′（x）=a（x-1）e^x+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$在（0，2）上有兩個零點，
令f′（x）=0，則a（x-1）e^x+$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，
即（x-1）（ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=0，
∴x-1=0或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，
∴x=1滿足條件，且ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（其中x≠1且x∈（0，2））；
∴a=-$\frac{1}{{e}^{x}{•x}^{2}}$，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
設(shè)t（x）=e^x•x²，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
則t′（x）=（x²+2x）e^x＞0，
∴函數(shù)t（x）是單調(diào)增函數(shù)，
∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e²），
∴a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{{4e}^{2}}$）．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)極值與零點的應(yīng)用問題，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力，是綜合性題目．