Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有恒成立，且f（0）≠0
（1）求f（0）的值；
（2）試判斷函數(shù)y=f（x）（x∈R）的奇偶性；
（3）若函數(shù)y=f（x）（x∈R）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x-1）-2a+3≥0恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

解（1）令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0）
∴f（0）=0或f（0）=1而f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令y=-x
∴f（x）+f（-x）=2[f（0）•f（x）]
由（1）知f（0）=1
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）的定義域?yàn)镽
∴f（x）為偶函數(shù)
（3）∵y=f（x）是偶函數(shù)且在[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x-1）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x-1）_min=f（0）=1，
∴f（x-1）-2a+3≥0恒成立，只需1-2a+3≥0，
∴a≤2；
分析：（1）可以令x=y=0，代入進(jìn)行求解，求出f（0）；
（2）令y=-x，代入，再把f（0）的值代入，可以求出f（x）為偶函數(shù)；
（3）函數(shù)y=f（x）（x∈R）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，求出f（x-1）的單調(diào)性，因?yàn)閒（x-1）-2a+3≥0恒成立，求出f（x-1）的最小值即可求解；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，本題涉及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題的過(guò)程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，此題是一道中檔題；