Question

如圖，傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，Q為A、B中點(diǎn)，
（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線l方程；  
（2）若α≠

π

2

，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明：|AB|=2|PF|．

Answer 1

分析：（1）拋物線的方程是y²=4x，可得

p

2

=1，從而得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），先根據(jù)拋物線的定義，推出|AB|=x₁+x₂+2，再由Q為A、B中點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得|AB|=2x₀+2．接下來求直線m的方程：運(yùn)用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線方程，再作差，化簡(jiǎn)得到直線AB的斜率為KAB= 

2

y0

，利用垂直直線斜率的關(guān)系，得到中垂線斜率為Km=-

y0

2

，所以直線m的方程為y-y₀=-

y0

2

(x-x0)．最后根據(jù)m方程得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x₀+2，得到|PF|=x_p-1=x₀+1，從而證出|AB|=2|PF|．

解答：解：（1）∵拋物線的方程是y²=4x，
∴2p=4，可得

p

2

=1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程是x=-1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
根據(jù)拋物線的定義，可得|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2
∵Q為A、B中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2x₀，且y₁+y₂=2y₀．因此可得|AB|=2x₀+2
∵A、B兩點(diǎn)在拋物線y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，且y₂²=4x₂，兩式相減，再分解得：
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線AB的斜率為KAB=

y1 -y2

x1 -x2

=

4

y1+y2

= 

2

y0

，
因此，中垂線斜率滿足Km•

2

y0

=-1，所以Km=-

y0

2

∴直線m的方程為y-y0=-

y0

2

(x-x0)
令y=0，得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x_p=x₀+2
所以|PF|=x_p-1=x₀+2-1=x₀+1
∴|AB|=2（x₀+1）=2|PF|

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦的中垂線，要求我們證明一個(gè)恒等式，著重考查了拋物線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．