Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（-1，1）上的增函數(shù)
（Ⅲ）解關(guān)于實數(shù)t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先利用函數(shù)在（-1，1）上有定義且為奇函數(shù)，所以f（0）=0，首先確定b的值，進一步利f(

1

2

)=

2

5

求出a的值，最后確定函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）直接利用定義法證明函數(shù)的增減性．
（Ⅲ）根據(jù)以上兩個結(jié)論進一步求出參數(shù)的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
所以：f（0）=0
得到：b=0
由于且f（

1

2

）=

2

5

所以：

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

解得：a=1
所以：f(x)=

x

1+x2

（Ⅱ）證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1
則：f（x₂）-f（x₁）=

x2

1+x22

-

x1

1+x12

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

由于：-1＜x₁＜x₂＜1
所以：0＜x₁x₂＜1
即：1-x₁x₂＞0
所以：

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0
則：f（x₂）-f（x₁）＞0
f（x）在（-1，1）上的增函數(shù)．
（Ⅲ）由于函數(shù)是奇函數(shù)，
所以：f（-x）=-f（x）
所以f（t-1）+f（t）＜0，轉(zhuǎn)化成f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
則：

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

解得：0＜t＜

1

2

所以不等式的解集為：{t|0＜t＜

1

2

}

點評：本題考查的知識要點：奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)星球參數(shù)的取值范圍．屬于基礎(chǔ)題型．