Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）當時，試討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設，當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.

Answer 1

(I) 當時，當時，在上，，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時，時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減；時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；（II）實數(shù)取值范圍．

試題分析：(I) 當時，試討論的單調(diào)性，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導確定單調(diào)性，由于，含有對數(shù)函數(shù)，可通過求導來確定單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)求導得，由此需對參數(shù)討論，分，，三種情況，判斷導數(shù)的符號，從而得單調(diào)性；（II）設，當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍，由題意可知，當時，若對任意時，的最小值大于或等于當時的最小值即可，由（I）知，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，只需求出的最小值，由于本題屬于對稱軸不確定，需討論，從而確定實數(shù)取值范圍．也可用分離參數(shù)法來求．
試題解析：（I） =（）   3分
當時，在上，，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；    4分
當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減；                   5分
當時，，時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減；時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增；時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.     7分
（II）若對任意，存在，使成立，只需      9分
由（I）知，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，     11分
法一：，對稱軸，當，即時，，得：；
當，即時，，得：；
當，即時，，得：.          14分
綜上：.                         15分
法二：
參變量分離：，                     13分
令，只需，可知在上單調(diào)遞增，，.  15分