Question

已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F（c，0），P是雙曲線右支上一點，且△OEP的面積為

6

2

.
（Ⅰ）若點P的坐標為(2，

3

)，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若

OF

•

FP

=(

6

3

-1)c2，當|

OP

|取得最小值時，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）、設所求的雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，再由題設條件求出a和c，從而求出此雙曲線的離心率．
（2）、設所求的雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，P(x1，y1)，則

FP

=(x1-c，y1).再利用均值不等式求當|

OP

|取得最小值時此雙曲線的方程．

解答：解：（Ⅰ）設所求的雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由

1

2

|OF|×

3

=

6

2

，∴c=

2

.
∴b²=c²-a²=2-a²．
由點P(2，

3

)在雙曲線上，
∴

4

a2

-

3

2-a2

=1，解得a2=1，
∴離心率e=

c

a

=

2

.
（Ⅱ）設所求的雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，P(x1，y1)，
則

FP

=(x1-c，y1).
∵△OFP的面積為

6

2

，∴

1

2

|

OF

||y1|=

6

2

．∴|y1|=

6

c

.
∵

OF

•

FP

=(

6

3

-1)c2，∴

OF

•

FP

=(x1-c)c=(

6

3

-1)c2.
解得x1=

6

3

c.∵|

OP

|=

x 2 1 + y 2 1

=

6c2 9 + 6 c2

≥4，
當且僅當c=

3

時等號成立．
此時P(

2

，±

2

)．由此得

2 a2 - 2 b2 =1 a2+b2=3

解得

a2=1 b2=2

或

a2=6 b2=-3

（舍）．
則所求雙曲線的方程為x2-

y2

2

=1．

點評：本題是雙曲線的綜合題，難度較大．重點考查雙曲線的性質和待定系數法的應用，解題時要注意均值不等式的靈活應用．