Question

13．已知定義在R上的函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當x₁+x₂=1時，不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立，則實數(shù)x₁的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得若不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}＞1}\\{1-{x}_{1}＜0}\end{array}\right.$，解可得實數(shù)x₁的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1），則有f（x₁）-f（x₂）＞f（1）-f（0），
又由x₁+x₂=1，則有f（x₁）-f（1-x₁）＞f（1）-f（0），
又由函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立可以轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}＞1}\\{1-{x}_{1}＜0}\end{array}\right.$，
解可得：x₁＞1，即實數(shù)x₁的取值范圍是（1，+∞）；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用單調(diào)性將不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁的不等式．