Question

4．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2．在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，點(diǎn)M，N分別為線段BC，CE上的動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\frac{5}{2}$，
則$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，-1]．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，2），求出直線BC的方程，設(shè)M（m，2-m），N（1，n），（1≤m，n≤2），再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得m，n的關(guān)系，可得1≤m≤$\frac{3}{2}$，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$，運(yùn)用換元法和基本不等式，以及函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求最值，即有所求范圍．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
可得A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，2），
直線BC的方程為y=2-x，
設(shè)M（m，2-m），N（1，n），（1≤m，n≤2），
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\frac{5}{2}$，可得m+n（2-m）=$\frac{5}{2}$，
即有n=$\frac{5-2m}{2（2-m）}$∈[1，2]，
解得1≤m≤$\frac{3}{2}$，
則$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$=（-m，m-1）•（1，n-1）=-m+（m-1）（n-1）
=-m+$\frac{1}{2}$•$\frac{m-1}{2-m}$，
可令t=2-m（$\frac{1}{2}$≤t≤1），
則$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$=t-2+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-t}{t}$
=t+$\frac{1}{2t}$-$\frac{5}{2}$≥2$\sqrt{t•\frac{1}{2t}}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{2t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，m=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取得最小值$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，
由t=1可得1+$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-1；t=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$+1-$\frac{5}{2}$=-1．
可得最大值為-1．
則$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{DN}$的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，-1]．
故答案為：[$\frac{2\sqrt{2}-5}{2}$，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的范圍，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，考查換元法和運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．