Question

已知E、F分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁、AD的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF和平面BDB₁D₁所成的角的正弦值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：連接BD、AE，過(guò)F作FH⊥BD交BD于H，連接EH，根據(jù)面面垂直的判定與性質(zhì)，可得FH⊥平面BB₁D₁D，因此∠FEH是直線(xiàn)EF和平面BDB₁D₁所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，結(jié)合題設(shè)可得Rt△EFH中，EF=且FH=，由此結(jié)合直角三角形正弦的定義，可算出直線(xiàn)EF和平面BDB₁D₁所成的角的正弦值．
解答：連接BD，AE，過(guò)F作FH⊥BD交BD于H，連接EH
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁?平面BB₁D₁D
∴平面BB₁D₁D⊥平面ABCD，
∵平面BB₁D₁D∩平面ABCD=BD，F(xiàn)H?平面ABCD，F(xiàn)H⊥BD
∴FH⊥平面BB₁D₁D，
因此，直線(xiàn)EH是直線(xiàn)EF在平面內(nèi)的射影，得∠FEH是直線(xiàn)EF和平面BDB₁D₁所成的角
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
∵E、F分別是BB₁、AD的中點(diǎn)，
∴Rt△DFH中，DF=1，∠FDH=45°，可得FH=DF=
Rt△AEF中，AF=1，AE==，可得EF==，
在Rt△EFH中，sin∠FEH==，即直線(xiàn)EF和平面BDB₁D₁所成的角的正弦值是
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求直線(xiàn)與平面所成角，著重考查了正方體的性質(zhì)和直線(xiàn)與平面所成角的大小求法等知識(shí)，屬于中檔題．