Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形．
（I）證明：PB⊥CD；
（II）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BC的中點E，連接DE，過點P作PO⊥平面ABCD于O，連接OA、OB、OD、OE．可證出四邊形ABED是正方形，且O為正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，結合三垂線定理，證出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位線，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的結論，證出CD⊥平面PBD，從而得到CD⊥PD．取PD的中點F，PC的中點G，連接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．連接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG為二面角A-PD-C的平面角，連接AG、EG，則EG∥PB，可得EG⊥OE．設AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的長，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π-arccos，即得二面角A-PD-C的平面角大�。�
解答：解：（I）取BC的中點E，連接DE，可得四邊形ABED是正方形
過點P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA、OB、OD、OE
∵△PAB與△PAD都是等邊三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的對角線的交點，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直線OB是直線PB在內的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分別為BC、BD的中點，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD內的相交直線，∴CD⊥平面PBD
∵PD?平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中點F，PC的中點G，連接FG，
則FG為△PCD有中位線，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
連接AF，由△PAD是等邊三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG為二面角A-PD-C的平面角
連接AG、EG，則EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
設AB=2，則AE=2，EG=PB=1，故AG==3
在△AFG中，F(xiàn)G=CD=，AF=，AG=3
∴cos∠AFG==-，得∠AFG=π-arccos，
即二面角A-PD-C的平面角大小是π-arccos．
點評：本題給出特殊的四棱錐，求證直線與直線垂直并求二面角平面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質、三垂線定理和運用余弦定理求二面的大小等知識，屬于中檔題．