Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點：冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由冪函數(shù)f（x）為（0，+∞）上遞減，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因為m為整數(shù)故m=0，1或2，又通過函數(shù)為偶函數(shù)，推知m²-2m-3為偶數(shù)，進而推知m²-2m為奇數(shù)，進而推知m只能是1，把m代入函數(shù)，即可得到f（x）的解析式．
（2）由

1

f(x+a)

=

1

(x+a)-4

=

1

(x+a)-2

=（x+a）²，利用a的取值范圍進行分類討論，能求出

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）為偶函數(shù)，
且在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m為整數(shù)，∴m=0，1或2，
又∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴m²-2m-3為偶數(shù)，
∴m²-2m為奇數(shù)，∴m只能是1，
把m=1代入函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3，
得f（x）=x^-4．
（2）∵

1

f(x+a)

=

1

(x+a)-4

=

1

(x+a)-2

=（x+a）²，
x∈[1，2]，
∴當a≥-1.5時，

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值為（a+1）²，
當a＜-1.5時，

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值為（a+2）²．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，是基礎題，解題時要注意冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．