Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性；

（2）判斷并證明)在）上的單調性；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）為奇函數；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：

本題考查函數奇偶性的判斷和單調性的證明，以及根據恒成立問題求參數取值范圍。（1）根據奇偶性的判斷方法證明。（2）根據單調性的判斷方法證明。（3）根據函數的單調性將函數不等式轉化為一般不等式，通過分離參數的方法轉化為求具體函數的最值問題處理。

試題解析：

（1）定義域R關于原點對稱，

∵,

為奇函數.

（2）證明：設R，且，

，

∵函數 在 上為增函數，

,故，

.

∴函數在上是增函數 .

（3）

，

又為奇函數，

，

∵在上是增函數，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

設，則，

∵在上為增函數，

∴當時，函數取得最小值，且。

∴。

故實數的取值范圍為。