Question

17．如圖，邊長為a+b+1（a＞0，b＞0）的正方形被剖分為9個矩形，這些矩形的面積如圖所示，則$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}+{S}_{4}}$+$\frac{2{S}_{5}}{{S}_{6}+{S}_{8}}$+$\frac{{S}_{7}}{{S}_{1}+{S}_{5}}$的最小值是2．

Answer 1

分析 運用矩形的面積公式可得原式=$\frac{2+^{2}}{a+b}$+$\frac{{a}^{2}}{ab+1}$，討論a+b≥ab+1，a+b＜ab+1，運用不等式的性質和基本不等式，即可得到所求最小值2．

解答 解：由圖示可得$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}+{S}_{4}}$+$\frac{2{S}_{5}}{{S}_{6}+{S}_{8}}$+$\frac{{S}_{7}}{{S}_{1}+{S}_{5}}$=$\frac{^{2}}{b+a}$+$\frac{2}{a+b}$+$\frac{{a}^{2}}{ab+1}$
=$\frac{2+^{2}}{a+b}$+$\frac{{a}^{2}}{ab+1}$，
當a+b≥ab+1時，即有原式≥$\frac{{a}^{2}}{a+b}$+$\frac{2+^{2}}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$，
由$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$-2=$\frac{{a}^{2}+^{2}-2a-2b+2}{a+b}$=$\frac{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}{a+b}$≥0，
可得原式≥2，當且僅當a=b=1時，取得等號；
當a+b＜ab+1時，原式＞$\frac{2+^{2}}{ab+1}$+$\frac{{a}^{2}}{ab+1}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{ab+1}$≥$\frac{2ab+2}{ab+1}$=2．
綜上可得，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}+{S}_{4}}$+$\frac{2{S}_{5}}{{S}_{6}+{S}_{8}}$+$\frac{{S}_{7}}{{S}_{1}+{S}_{5}}$的最小值是2．
故答案為：2．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，考查分類討論的思想方法，以及化簡整理的運算能力，具有一定的難度．